PRML1.47~1.49(ガウス分布の性質1) – PRMLで出てくる数式を掘り下げる

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ガウス分布の性質

今回は、前回導いた(ような気になっている)ガウス分布の性質の解説です。

ガウス分布は下記の式で表されます。

$$ \mathcal{N}(x | \mu, \sigma ^2)=\frac{1}{(2\pi\sigma ^2)^{1/2}}\exp{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2} \tag{1.46} $$

まず、ガウス分布は0にはなりません。

$$\mathcal{N}(x | \mu, \sigma ^2)>0 \tag{1.47} $$

\( 2\pi\sigma ^2 \)が明らかに0以上なので明白ですね。

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{N}(x | \mu, \sigma ^2)dx = 1 \tag{1.48} $$

これは正規分布の総和が1になることを示しています。
二項分布のnを十分に大きくすることで正規分布へ変化していくので、こちらも直感的にわかります。

$$ \mathbb{E}[x] = \int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{N}(x | \mu, \sigma ^2)xdx = \mu \tag{1.49} $$

こちらはxの平均値\( \mu \)の算出式です。x全体の平均値なのでxの期待値\( \mathbb{E}[x] \)と同じだよねということを言っています。

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